Séminaire Topologies

Le jeudi 09 novembre 2017 à 11:15 - salle 431

Sinan Yalin
Déformation des bigèbres via le complexe de Hochschild supérieur, formalité et quantification

Dans un premier temps, je présenterai un cadre conceptuel général pour comprendre différents problèmes de modules formels (dérivés) contrôlant les déformations de structures algébriques. La principale application de ces idées est d'établir des liens précis (restés conjecturaux pendant longtemps) entre la théorie de la déformation des bigèbres et celle des algèbres sur l'opérade des petits disques. Notamment, il existe une équivalence d'infini-catégories entre les dg-bigèbres (à homotopie près) pointées conilpotentes et les E2-algèbres augmentées, construite explicitement comme une version appropriée de la construction cobar, et via ce résultat une équivalence entre le problème de module formel (dérivé) des structures de bigèbres à homotopie près et celui des structures E2 obtenues par cette construction "cobar". La structure E3 induite par la conjecture de Deligne supérieure sur le complexe de Hochschild supérieur de cette construction cobar contrôle donc les déformations de la bigèbre, résolvant par conséquent une vieille conjecture de Gerstenhaber-Schack.
Dans un deuxième temps, on verra comment cette solution à la conjecture de Gerstenhaber-Schack permet d'établir un théorème de formalité E3 pour le complexe de déformation de la bigèbre symétrique, résolvant ainsi une autre ancienne conjecture avancée par Kontsevich dans ses travaux sur la quantification des variétés de Poisson. Une conséquence de ce résultat est une nouvelle preuve du théorème de quantification des bigèbres de Lie d'Etingof-Kazhdan parallèle à la preuve de Kontsevich/Tamarkin de la quantification des variétés de Poisson. De plus, cette preuve généralise les résultats d'Etingof-Kazhdan au cadre des dg-bigèbres et de leurs variantes à homotopie près, et s'applique également à d'autres variantes de quantification.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Grégory Ginot.



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