Séminaire de Géométrie Algébrique

Le mardi 24 avril 2018 à 10:00 - salle 330

Pierre Parent
Points rationnels des courbes modulaires : un point de vue arakélovien

La géométrie diophantienne a développé des méthodes très efficaces (Chabauty, Faltings, Vojta...) pour démontrer la finitude des points des courbes algébriques de genre >1 à valeurs dans les corps de nombres. Ces techniques cependant sont congénitalement non effectives (on n'a pas de contrôle sur la hauteur des points), ce qui interdit généralement d'espérer montrer la trivialité (et non la seule finitude) de ces ensembles de points rationnels. Ainsi savait-on depuis Faltings que l'équation de Fermat n'a, pour tout exposant n>2, qu'un nombre fini de solutions, sans que les techniques diophantiennes permettent de conclure - même à exposant fixé. Je tâcherai dans cet exposé d'expliquer pourquoi la situation est souvent bien plus favorable pour les courbes modulaires, du fait des propriétés géométriques et arithmétiques de leurs jacobiennes. On peut ainsi donner dans certains cas, grâce à des outils arakéloviens spécifiques, des majorations effectives pour la hauteurs des points.



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